Решения типовых задач по математике. Уравнения и неравенства с модулем
1. Решить уравнение
|x - 2| + |3 + x| = 2x + 1.
Решение.
Рассмотрим промежуток x < -3. На этом промежутке
x + 3 < 0 и
x - 2 < 0, поэтому
|x + 3| = -x - 3 и
|x - 2| = 2 - x.
Следовательно, на указанном промежутке уравнение принимает вид
-1 - 2x = 2x + 1, откуда
x = -1/2. Найденное значение не принадлежит
рассматриваемому промежутку, поэтому при x < -3
уравнение решений не имеет.
При -3 Ј x < 2
имеем |x + 3| = x + 3 и
|x - 2| = 2 - x, поэтому наше
уравнение имеет на этом промежутке вид
5 = 2x + 1, откуда x = 2. И
полученное значение не входит в рассматриваемый промежуток, следовательно,
при -3 Ј x < 2
данное уравнение также не имеет решения.
Пусть x і 2. Тогда
|x + 3| = x +3 и
|x - 2| = x - 2, и уравнение
принимает вид 2x + 1 = 2x + 1.
Это равенство очевидно выполнено при любом x, поэтому все числа из
рассматриваемого промежутка являются решениями.
Ответ: x О [2, Ґ).
2. Решить неравенство (9 кл.)
4
(x-2)2
|
+ |
12x
|2-x|
|
+ 9x2 > 0. |
Решение.
Область допустимых значений этого неравенства состоит из всех
x №2.
Так как
|x-2
|2 = (
x-2)
2,
в левой части стоит полный квадрат суммы. Следовательно, неравенство можно записать в виде
|
ж
з
и |
2
|x-2|
|
+ 3x |
ц
ч
ш |
2
|
> 0. (1) |
Поскольку квадрат не может быть отрицательным числом, решениями
неравенства (1) являются все допустимые
x, кроме тех, при которых
левая часть оказывается равной нулю. Такие
x находятся из
уравнения
равносильного в области допустимых значений уравнению
Пусть
x < 2. Тогда уравнение (2) имеет вид
3
x2 - 6
x - 2 = 0, откуда
| x = |
3+(15)1/2
3
|
или x = |
3-(15)1/2
3
|
. |
Заметим, что (15)
1/2 > 3, и, следовательно, первый
корень в рассматриваемый промежуток
x < 2 не входит. Второй
корень в этот промежуток входит, так как является отрицательным числом.
Итак, при
x < 2 наше уравнение имеет один корень
Пусть
x і 2. Тогда уравнение (2) имеет
вид 3
x2 - 6
x + 2 = 0, откуда
| x = |
3+(3)1/2
3
|
или x = |
3-(3)1/2
3
|
. |
Оба эти корня в рассматриваемый промежуток
x і 2 не входят. Окончательно получаем
| x № 2 и |
|
x № |
3-(15)1/2
3
|
. |
