*** 

Решения типовых задач по математике. Неравенства.

1. Решить неравенство



Решение.
Данное неравенство имеет смысл при x² + 2x - 3 і 0 и x² - x - 12 № 0, т. е. при x О (-Ґ; -3) И (4; Ґ). Решая теперь на этом множестве наше неравенство методом интервалов получаем, что при x О (-Ґ; -3) неравенство выполнено, так как на этом промежутке числитель и знаменатель положительны. Значение x = 1 является решением, поскольку в этой точке числитель обращается в нуль, а знаменатель ненулевой, и, следовательно, вся дробь равна нулю. На интервале (1;4) решений нет, так как на этом промежутке числитель положителен, а знаменатель отрицателен. И, наконец, все точки луча (4; Ґ) являются решением, поскольку на этом промежутке и числитель и знаменатель положительны.

Ответ: x О (-Ґ; -3) И {1} И (4; Ґ).

2. Решить неравенства



Решение.
а. При любом x из ОДЗ справедливо неравенство

Поэтому данное неравенство выполняется, если

м н о

x2-7x+10 і 0, x-5 Ј 0.

Решая систему

м н о

(x-2)(x-5) і 0, x-5 Ј 0,

получаем: x О (-Ґ,2]И{5}.

б. Так как при x і 0 неравенство (б) превращается в неравенство (а), имеем x О [0;2]И{5}. Пусть теперь x < 0, тогда |x| = -x, x-5 < 0, поэтому данное неравенство равносильно системе

м н о

x2+7x+10 і 0, x < 0

Ы

м н о

(x+2)(x+5) > 0, x < 0,

откуда x Ј -5 или -2 Ј x < 0. Объединяя множества решений, полученные при x і 0 и при x < 0, получаем x О (-Ґ;-5]И[-2;2]И{5}.

3. Решить неравенство

Решение.
ОДЗ этого неравенства составляют отличные от нуля решения неравенства 24-2x-x² Ј 0, т.е. ОДЗ есть множество [-6;0)И(0;4]. Теперь заметим, что при отрицательных x левая часть данного нераевнства отрицательна, поэтому неравенство выполняется. Для x О (0;4] исходное неравенство преобразуется к виду 24-2x-x² Ј x². Отсюда x О [3;4].

Ответ: О [-6;0)И[3;4].

4. Решить неравенство

_______ Цx2-3x+5

+ x2 і 3x+7.

Решение.
Замена y = Ц (x²-3x+5), приводит к неравенству y²+y-12 і 0. Отсюда y Ј -4 или y і 3. Учитывая, что y неотрицательно, решаем только неравенство Ц (x²-3x+5) і 3, или после возведения в квадрат, x²-3x-4 і 0. Окончательно имеем x Ј -1, x і 4.

Ответ: x О (-Ґ;-1]И[4;Ґ).

5. Решить неравенство

(4x2-8x+3)(2x2-5x+3)1/2 і 0.

Решение.
Сначала найдем область допустимых значений x. Для этого решая методом интервалов неравенство 2x²-5x+3 і 0, получим x О (-Ґ;1]И[3/2;+Ґ). Теперь на ОДЗ достаточно решить неравенство 4x²-8x+3 і 0 и добавить корни уравнения 2x²-5x+3 = 0. Окончательно получаем x О (-Ґ,1/2]И{1}И[3/2;Ґ).