*** 

Решения типовых задач по математике. Задачи с параметром.

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение

(a - 1)x² + 2x + a - 1 = 0

имеет ровно один корень?

Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a² - 8a = 0,
откуда a = 0 или a = 2.

Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.

2. Задача.
Найти все значения параметра a, при которых имеет два различных корня уравнение

x²+4ax+8a+3 = 0.

Решение.
Уравнение x²+4ax+8a+3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a²-4(8a+3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a²-8a-3 > 0, откуда

a < 1 –

Ц7  2

или    a > 1 +

Ц7  2

Ответ:

a О (-Ґ; 1 –

Ц7  2

) И (1 +

Ц7  2

; Ґ).

3. Задача.
Известно, что


f₂(x) = 6x-x²-6.

а) Постройте график функции f₁(x) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f₁(x) и f₂(x) имеют единственную общую точку?

Решение.
а. Преобразуем f₁(x) следующим образом


График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.

б. Сразу отметим, что графики функций y = kx+b и y = ax²+bx+c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx+b = ax²+bx+c имеет единственный корень. Используя представление f₁ из 3.а, приравняем дискриминант уравнения a = 6x-x²-6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x-a = 6x-x²-6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a, при которых множество решений неравенства x²-2ax-3a і 0 содержит отрезок [3;6].

Решение.
Первая координата вершины параболы f(x) = x²-2ax-3a равна x₀ = a. Из свойств квадратичной функции условие f(x) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем

м н о

a Ј 3, f(3) = 9-9a і 0,

м н о

3 < a < 6, D = 4a2+12a Ј 0,

м н о

a і 6, f(6) = 36-15a і 0.

Решением первой системы является множество (-Ґ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.

Ответ: a О (-Ґ,1].

5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение

x2+2ax-3a+7 = 2x

имеет ровно два решения?

Решение.
Перепишем это уравнение в виде x² + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a²+a-6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

Ответ: 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a, при которых график функции

f(x) =

x2+|ax+2| a-1

проходит через точку с координатами (-1;1).

Решение.
Из условия f(-1) = 1 имеем уравнение

1 =

1+|-a+2| a-1

,

или, после очевидных преобразований, a-2 = |2-a|. Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

Ответ: a О [2;Ґ).

7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения

x2-2ax+a2-a = 0

больше чем 12?

Решение.
Дискриминант уравнения x²-2ax+a²-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x₁+x₂ = 2a и x₁·x₂ = a²-a. Отсюда x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²-2x₁·x₂ = 2a²+2a. Решениями неравенства 2a²+2a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.

Ответ: a > 2.